Mathematik Übungsprogramm ~ Brigitte Körber, Liechtensteinstrasse 47 ~ 2344 Maria Enzersdorf ~ brigitte.koerber@aon.at

7. Schulstufe (3. Klasse AHS, MS)

I N H A L T S V E R Z E I C H N I S

1. WIEDERHOLUNG

Die 4 Grundrechnungsarten und ihre Rechengesetze

a) mit Dezimalzahlen

b) mit Bruchzahlen

c) Periodische Dezimalzahlen

2. GLEICHUNGEN - UNGLEICHUNGEN
Textbeispiele

3. ÄHNLICHKEIT - VERHÄLTNISSE UND PROPORTIONEN

Teilen einer Strecke - Strahlensatz, Ähnliche Dreiecke,

Vergrößern und Verkleinern von Figuren,

Verhältnisgleichungen und Textbeispiele

4. DIE PROZENTRECHNUNG
Vermischte Aufgaben

5. 5. DIE ZINSENRECHNUNG

Textbeispiele

6. DIE POTENZSCHREIBWEISE

Rechnen mit Quadratwurzeln

7. GANZE UND RATIONALE ZAHLEN
Textbeispiele

8. FLÄCHENBERECHNUNGEN

1. Der Flächeninhalt des Dreiecks

2. Der Flächeninhalt des Parallelogramms

3. Der Flächeninhalt des Trapezes

4. Der Flächeninhalt des Rhombus (der Raute)

5. Der Flächeninhalt des Deltoids

6. Der Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren

7. Der Flächeninhalt von Vielecken

9.      DER   PYTHAGORÄISCHE   LEHRSATZ
          Anwendung des pythagoräischen Lehrsatzes bei Berechnungen von ebenen Figuren
          Vermischte Aufgaben

10. ARBEITEN MIT TERMEN

a) Grundbegriffe der Termrechnung

b) Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren

11. GLEICHUNGEN MIT TERMEN UND KLAMMERN

Textbeispiele

12. UMFORMEN VON FORMELN

13. DAS PRISMA

Vermischte Aufgaben

14. DIE PYRAMIDE

Vermischte Aufgaben

15. STATISTIK: Mittelwert (Arithmetisches Mittel), Median, Modus, Spannweite

DATEN DARSTELLEN -

Absolute, relative und prozentuelle Häufigkeiten ermitteln und darstellen

Diagramme: Säulendiagramm, Liniendiagramm, Balkendieagramm,

Baumdiagramm, Kreisdiagramm

16. VIELE BEISPIELE FÜR SCHULARBEITEN

Vermischte Aufgaben Rechengesetze mit Brüchen,

Doppelbruch,Gleichungen mit Termen und Klammern,

Pythagoräischer Lehrsatz, Flächenberechnungen, Körperberechnungen,

Prozentrechnungen,Zinsenrechnungen, Mischungsaufgaben,

Bewegungsaufgaben, Geschwindigkeitsaufgaben, Ähnlichkeit,…

Das Übungsprogramm deckt alle Bereiche ab.

Hier ein kleiner Auszug aus dem Angaben - und Lösungsbuch:

Hier sind nur die Übungsbeispiele mit Rechengang angegeben.

Die Einführungsbeispiele - wie in einer Unterrichtsstunde erklärt sind im Lösungsbuch unter "Erklärung" zu finden.

Im Angabenbuch steht:

Rechne! Mache auch die Probe: x = 3, y = 4

3x³ + (x² – x²y) • y – (x – y²) • x² =

Im Lösungsbuch steht:

Rechne! Mache auch die Probe: x = 3, y = 4

3x³ + (x² – x²y) • y – (x – y²) • x² =

= 3x³ + x²y – x²y² - x³ + x²y² = 2x³ + x²y

Probe: T(A): 3 • 27 + (9 – 9 ∙ 4) ∙ 4 – (3 – 16) ∙ 9 =

= 81 + (9 - 36) ∙ 4 - (-13) ∙ 9 =

= 81 + (- 27) ∙ 4 + 117 =

= 81 - 108 + 117 = 90

T(E): 2 ∙ 27 + 9 ∙ 4 = 54 + 36 = 90

Im Angabenbuch steht:

Rechne! Mache auch sie Probe: x = 2

(3 x – 1)² - (4 x – 2)² =

Im Lösungsbuch steht:

Rechne! Mache auch die Probe: x = 2

(3 x – 1)² - (4 x – 2)² =

(3 x – 1)² - (4 x – 2)² = 9 x² - 6 x + 1 – (16 x² - 16 x + 4) = (Fasse gleiche Terme zusammen!)

= 9 x² - 6 x + 1 – 16 x² + 16 x – 4 =

= - 7 x² + 10 x – 3

Probe : AT : (3 • 2 – 1)² - (4 • 2 – 2)² =

= ( 6 - 1)² - ( 8 - 2)² =

= 5² - 6² =

= 25 - 36 = - 11

ET : ( - 7) • 2² + 10 • 2 - 3 = ( - 7) • 4 + 20 - 3 =

= - 28 + 20 – 3 = - 11

Im Angabenbuch steht:

(x – 4) • (x + 4) + 2x + 2 = (x + 3) ∙ (x - 3) + x - 3

Mache auch die Probe!

Im Lösungsbuch steht:

Mache auch die Probe!

(x – 4) ∙ (x + 4) + 2x + 2 = (x + 3) ∙ (x - 3) + x - 3

x² - 16 + 2x + 2 = x² - 9 + x - 3 (x² fällt weg!)

2x - 14 = x - 12 / - x / + 14

2x - x = -12 + 14

x = 2

Probe:

(2 - 4) ∙ (2 + 4) + 2 ∙ 2 + 2 = (2 + 3) ∙ (2 - 3) + 2 - 3

(-2) ∙ 6 + 4 + 2 = 5 ∙ (-1) + 2 - 3

-12 + 4 + 2 = (-5) + 2 - 3

- 6 = - 6

Im Angabenbuch steht:

Die Zehnerziffer einer zweistelligen Zahl ist um 4 kleiner als die Einerziffer.

Werden die Ziffern vertauscht, so entsteht eine neue Zahl, die um 12 kleiner als das Doppelte der ursprünglichen Zahl ist.

Wie heißt die ursprüngliche Zahl? Wie heißt die neue Zahl?

Im Lösungsbuch steht:

Die Zehnerziffer einer zweistelligen Zahl ist um 4 kleiner als die Einerziffer.
Werden die Ziffern vertauscht, so entsteht eine neue Zahl, die um 12 kleiner als das Doppelte der ursprünglichen Zahl ist.

Wie heißt die ursprüngliche Zahl? Wie heißt die neue Zahl?

∙10

Z E Zahl Probe:

urspr. Z. x – 4 x 10 ∙ (x - 4) + x = 10x – 40 + x = 11x-40 48

neue Zahl x x – 4 10 ∙ x + (x – 4) = 10x + x – 4 = 11x - 4 84

ursprüngliche Zahl: neue Zahl:

(11 x – 40) ∙2 = 11 x – 4 + 12

22 x – 80 = 11 x – 4 + 12 / - 11x / + 80

22 x – 11 x = – 4 + 12 + 80

11 x = 88

x = 8

Die ursprüngliche Zahl heißt 48, die neue Zahl heißt 84.

Im Angabenbuch steht:

Andi borgt sich 115,60 € bei seinem Freund aus.

Er zahlt ihm ein paar Tage später 3 mal 14,40 € zurück.

Wie viel ist er seinem Freund noch schuldig? Schreibe die Rechnung auf!

Im Lösungsbuch steht:

Andi borgt sich 115,60 € bei seinem Freund aus.

Er zahlt ihm ein paar Tage später 3 mal 14,40 € zurück.

Wie viel ist er seinem Freund noch schuldig? Schreibe die Rechnung auf!

(- 115,60) + 3 ∙ (+ 14,40) =

- 115,60 + 43,20 = - 72,40

Andi ist seinem Freund noch 72,40 € schuldig.

Im Angabenbuch steht:

Ein 8,4 m hoher Baum wurde geknickt.

Die Spitze berührt den Boden 5,2 m vom Fuß des Stammes entfernt.

In welcher Höhe liegt die Knickstelle? (Mache unbedingt eine Skizze!)

Im Lösungsbuch steht:

Ein 8,4 m hoher Baum wurde geknickt.

Die Spitze berührt den Boden 5,2 m vom Fuß des Stammes entfernt.

In welcher Höhe liegt die Knickstelle? (Mache unbedingt eine Skizze!)

(8,4 – x)² = x² - 5,2²

70,56 - 16,8x + x² = x² - 27,04 (x² fällt weg)

70,56 + 27,04 = 16,8 x

97,6 = 16,8 x / : 16,8

5,8 » x

8,4 - 5,8 = 2,6

Die Knickstelle befindet sich in 2,6 m Höhe.

Im Angabenbuch steht:

Addition mit ganzen Zahlen (Achte auf die Vorzeichen!)

(-6) + (-9) + (-12) + (-14) + (-30) =

Im Lösungsbuch steht:

Addition mit ganzen Zahlen (Achte auf die Vorzeichen!)

(-6) + (-9) + (-12) + (-14) + (-30) = - 71

-6 - 9 - 12 - 14 - 30 = - 71

(die „Schulden“ (minus Zahlen) werden addiert!)

Denke dir: das + ist „Guthaben“

Denke dir: das – sind „Schulden“

Im Angabenbuch steht:

Ordne die Zahlen der Größe nach!

Beginne mit der kleinsten Zahl!

+ 16 ; - 4 ; + 15 ; 0 ; - 1 002 ; - 1 000 , - 1 001

Im Lösungsbuch steht:

Ordne die Zahlen der Größe nach!

Beginne mit der kleinsten Zahl!

Überlege: Je größer eine Minuszahl ist, desto kleiner ist ihr Wert!

+ 16 ; - 4 ; + 15 ; 0 ; - 1 002 ; - 1 000 , - 1 001

- 1 002 < - 1 001 < - 1 000 < - 4 < 0 < + 15 < + 16

Im Angabenbuch steht:

a) 1 500 : (-30) – (+4) • (-5) =

b) (-14) • (-3) – (+16) : (-4) =

Im Lösungsbuch steht:

a) 1 500 : (-30) – (+4) • (-5) = - 30

- 50 - (-20) = -50 + 20 = - 30

a) b) (-14) • (-3) – (+16) : (-4) = + 46

+ 42 - (-4) = + 42 + 4 = 46

Im Angabenbuch steht:

Ein Kapital von 3 000 € wird nach 8 Jahren abgehoben.
Der Zinsfuß beträgt 6%. Berechne die effektiven Zinsen und das Guthaben nach 8 Jahren!

Im Lösungsbuch steht:

Ein Kapital von 3 000 € wird nach 8 Jahren abgehoben.
Der Zinsfuß beträgt 6%. Berechne die effektiven Zinsen und das Guthaben nach 8 Jahren!

                   K₀ =   3 000 €           6 % • 0,75 = 4,5 %
                   p    =   6%
                   t     =   8 J.
                   K₈ = ? €

K₈ = K₀ . 1,045⁸ = 3 000 • 1,045⁸ ≈ 4 266,30

Z_eff = K₈ - K₀ = 4 266,30 - 3 000 ≈ 1 266,30

Die effektiven Zinsen betragen 1 266,30 €, das Guthaben beträgt 4 266,30 €.

Im Angabenbuch steht:

Von einem Viereck kennt man die Länge der Seite a = 7 cm und den Flächeninhalt A = 784 cm².

Von einem ähnlichen Viereck kennt man die entsprechende Seitenlänge a₁ = 4 cm.

Berechne den Flächeninhalt des ähnlichen Vierecks!

Im Lösungsbuch steht:

Von einem Viereck kennt man die Länge der Seite a = 7 cm und den Flächeninhalt A = 784 cm².

Von einem ähnlichen Viereck kennt man die entsprechende Seitenlänge a₁ = 4 cm.

Berechne den Flächeninhalt des ähnlichen Vierecks!

In jeder (richtigen) Proportion ist das Produkt der Aussenglieder

gleich dem Produkt der Innenglieder.

A : A₁ = a² : a₁²
784 : A₁ = 49 : 16

49 • A₁ = 12 544 / : 49

A₁ = 256

Der Flächeninhalt des ähnlichen Vierecks beträgt 256 cm².

Im Angabenbuch steht:

Das Volumen eines Quaders V = 80 cm³ ist mit dem Volumen eines Würfels gleich.
Die Seiten des Quaders verhalten sich wie 1 : 2 : 5.
Berechne die Seite des Würfels!

Im Lösungsbuch steht:

Das Volumen eines Quaders V = 80 cm³ ist mit dem Volumen eines Würfels gleich.
Die Seiten des Quaders verhalten sich wie 1 : 2 : 5.
Berechne die Seite des Würfels!

l : b : h = 1 : 2 : 5 l = 1k, b = 2k, h = 5k

l = 1cm ∙ 2 = 2 cm

b = 2 cm ∙ 2 = 4 cm

h = 5 cm ∙ 2 = 10 cm

V = l ∙ b ∙ h V_(Würfel) = V_(Quader)

V = 1k ∙ 2k ∙ 5k a³ = l ∙ b ∙ h

80 = 10k³ / : 10 a³ = 2 ∙ 4 ∙ 10

8 = k³ a³ = 80

2 = k a ≈ 4,3 cm

Die Seitenlänge des Würfels beträgt 4,3 cm.

Im Angabenbuch steht:

In einer regelmäßigen quadratischen Pyramide verhalten sich die
Grundkante zur Seitenflächenhöhe wie 1 : 3.
Wie groß ist das Volumen,wenn die Oberfläche 112 cm² beträgt? Runde auf 1 Dez.!

Im Lösungsbuch steht:

In einer regelmäßigen quadratischen Pyramide verhalten sich die
Grundkante zur Seitenflächenhöhe wie 1 : 3.
Wie groß ist das Volumen,wenn die Oberfläche 112 cm² beträgt? Runde auf 1 Dez.!

a : h_a = 1 : 3 a = 1 k = 1 ∙ 4 cm = 4 cm

h_a = 3 k = 3 ∙ 4 cm = 12 cm

O = a² + 2a . h_ah² = h_a² – (a/2)² V = a ²/3 ∙ h

O = 1k² + 2 ∙ 1 k ∙ 3 k h² = 12² - 2² V » 62,9

O = 1 k² + 6 k² h² = 144 - 4

112 = 7 k² / : 7 h² = 140

16 = h² h ≈ 11,8

4 = k

Die Grundkante ist 4 cm lang, die Seitenflächenhöhe ist 12 cm lang.

Das Volumen beträgt 62,9 cm³ .

Im Angabenbuch steht:

Für eine Ware bezahlt man inklusive Mehrwertsteuer 1 460 €.

(MwSt. = 20%) Wie teuer ist die Ware ohne Mehrwertsteuer?

Im Lösungsbuch steht:

120 % . . . . . . . . . . . 1 460 € Ware ohne Mehrwertsteuer = 100%

100 % . . . . . . . . . . . . . . .x € Ware mit Mehrwertsteuer = 120%

x = 1 460 . 100 : 120 = 1 216,66 » 1 216,67

Die Ware kostet ohne Mehrwertsteuer 1 216,67 €.

Im Angabenbuch steht:

Herausheben gemeinsamer Faktoren

5 a⁴ + 10 a³ =

16 x³ y² - 24 xy =

Im Lösungsbuch steht:

Herausheben gemeinsamer Faktoren

5 a⁴ + 10 a³ = 5 a³ (a + 2)

16 x³ y² - 24 xy = 8 xy (2 x²y – 3)

Im Angabenbuch steht:

Vereinfache und führe die Probe durch.

24a³: (- 4a) + 6 a² - 3a⁴ : (- a)² + (3a)² - a³ : a =

Im Lösungsbuch steht:

Vereinfache und führe die Probe durch.

24a³: (- 4a) + 6 a² - 3a⁴ : (- a)² + (3a)² - a³ : a =

= - 6a² + 6a² - 3a² + 9a² - a² = 5a²

Im Angabenbuch steht:

m) Jemand hat 786 € Schulden. Nach einiger Zeit kommen noch 324 € Schulden dazu.

a) a) Wie hoch ist der Schuldenstand? Schreibe die Rechnung auf!

b) b) Wie hoch ist der Schuldenstand, wenn er nach einiger Zeit 485 € zurückbezahlt?

Kopfrechnung. Aber schreibe die Rechnung auf!

Im Lösungsbuch steht:

Jemand hat 786 € Schulden. Nach einiger Zeit kommen noch 324 € Schulden dazu.

a) a) Wie hoch ist der Schuldenstand? Schreibe die Rechnung auf!

b) b) Wie hoch ist der Schuldenstand, wenn er nach einiger Zeit 485 € zurückbezahlt?

Kopfrechnung. Aber schreibe die Rechnung auf!

a) (- 786) + (– 324) = - 786 - 324 = - 1 110

Der Schuldenstand beträgt 1 110 €.

b) (- 1 110) + (+ 485) = - 1 110 + 485 = - 625

Die Schulden betragen nur mehr 625 €.

Im Angabenbuch steht:

Die Oberfläche einer regelmäßigen quadratischen Pyramide beträgt 155 cm², der Mantel ist 112 cm².
Berechne die Grundfläche der Pyramide!

Im Lösungsbuch steht:

Die Oberfläche einer regelmäßigen quadratischen Pyramide beträgt 155 cm², der Mantel ist 112 cm².
Berechne die Grundfläche der Pyramide!

O = 155 cm² O = G + M

M = 112 cm² 155 = G + 112 / - 112

G = ? cm² 155 - 112 = G

43 = G

Die Grundfläche beträgt 43 cm².

Mathematik Übungsprogramm ~ Brigitte Körber, Liechtensteinstrasse 47 ~ 2344 Maria Enzersdorf ~ brigitte.koerber@aon.at