Vorbereitung für die Oberstufe

                            Stoff der 4. Klasse AHS - MS

 

 

      I N H A L T S V E R Z E I C H N I S

 

       A      WIEDERHOLUNG   

 1.     Prozentrechnung                                                         

 2.     Zinsen- und Zinseszinsrechnung             

                          3.    Verhältnisse und Proportionen            

 

          B     DIE   REELLEN  ZAHLEN

1.   Die Menge der reellen Zahlen                         

2.   Gemischt periodische Dezimalzahlen          

3.   Rechnen mit Quadratwurzeln              

a)   Addieren und Subtrahieren

b)  Multiplizieren und Dividieren

c)  Teilweises Wurzelziehen

d)  Einen Faktor „unter die Wurzel bringen“

e)  Nenner rational machen

 

           C        TERME

    1.   Addieren und Subtrahieren von Termen                  

    2.   Multiplizieren von Termen                        

    3.   Dividieren durch Terme                     

    4.   Multiplikation von Summen und Differenzen             

    5.   Die binomischen Formeln                        

    6.   Dritte Potenzen von Binomen                           

    7.   Herausheben und Zerlegen von Termen              

   

         D       1.  LINEARE  GLEICHUNGEN  MIT  EINER  UNBEKANNTEN          

                  2.  GLEICHUNGEN  MIT  ALLGEMEINEN  KOEFFIZIENTEN          

   

        E        LÖSEN  VON  UNGLEICHUNGEN                         

   

          F       RECHNEN  MIT  BRUCHTERMEN

   1.   Kürzen von Bruchtermen                                                

   2.   Addieren und Subtrahieren von Bruchtermen               

   3.   Multiplizieren von Bruchtermen                           

   4.   Dividieren durch Bruchterme    Doppelbrüche   -                 

         Division mehrgliedriger Ausdrücke  (Polynome)

 

          G       GLEICHUNGEN  MIT  BRUCHTERMEN – BRUCHGLEICHUNGEN    

     

          H       ARBEITEN  MIT  FORMELN                                 

                    (Umformen von Formeln)

 

          I        FUNKTIONEN                                                  

                   AUFSTELLEN  VON  LINEAREN  FUNKTIONSGLEICHUNGEN

 

         J       LINEARE  GLEICHUNGEN  MIT  ZWEI  UNBEKANNTEN         

                  Textbeispiele  - Gleichungen mit allgemeinen Koeffizienten  (Formvariablen)

 

            K      DER  PYTHAGORÄISCHE  LEHRSATZ

                    1.    Anwendung bei Berechnungen von ebenen Figuren                

                    2.    Der Kathetensatz und der Höhensatz                          

   

          L      PRISMEN  UND  PYRAMIDEN                    

         

        M      KREIS  UND  KREISTEILE                       

         

         N       DER  DREHZYLINDER         

                      

         O       DER  DREHKEGEL                                

          

          P      DIE  KUGEL  

 


       

 

      Hier sind nur einige Beispiele mit Rechengang angegeben.

 

         Wiederholung

   

         Im Angabenbuch steht:

 

          16)    Nach 11 Jahren wird ein Guthaben von 65 000 €  abgehoben. Der Zinsfuß

                    beträgt  6 %. Berechne die effektiven Zinsen und das Anfangskapital K0!

 


             Wiederholung

 

          Im Lösungsbuch steht:

 

          16)    Nach 11 Jahren wird ein Guthaben von 65 000 €  abgehoben. Der Zinsfuß

                   beträgt  6 %. Berechne die effektiven Zinsen und das Anfangskapital K0!

 

                   K11 =   65 000 €                     6 %  .  0,75  =  4,5 %           

                   p     =   6 %                                 

                   t      =   11 J.                                  

                   K0    =   ? €                                K11   =   K0  .  1,04511

                                                     K11 : 1,04511   =   K0

                                             65 000  :  1,04511   =   K0

                                                                    40 052,92       K0

                   Zeff  =  K11   -   K0   =   65 000   -   40 052,92   =   24 947,08

 

                   Die effektiven Zinsen betragen   24 947,08 €.

                   Das Anfangskapital  K0  beträgt  40 052,92 €.  

 


 

                  Wiederholung

                   Im Angabenbuch steht:

 

      Mache bei folgenden Beispielen auch die Probe:   x  =  2

                   q)      6 x –  [3 x  +  11 –  (2 x + 1) + 7]   =  

 

                    Im Lösungsbuch steht:

 

       Mache bei folgenden Beispielen auch die Probe:   x  =  2

                   q)     6 x –  [3 x  +  11 –  (2 x + 1)   + 7]     =            

                       =   6 x –  [3 x  +  11  -   2 x – 1   + 7]     =   (Fasse alle gleichen Terme in der Klammer zusammen!)                  

                       =   6 x –  [ x  +  17 ]  =  6 x  -   x  -  17   =   5 x    17 

    

 

                   Probe:   AT :      6. 2   –  [3. 2  + 11   – ( 2. 2 + 1)  + 7    ]   =           

                                            =  12   -  [   6   + 11   - (  4    + 1)   + 7    ]   =                  

                                            =  12   -  [    + 17        -    (+5 )       + 7    ]   =  12 - [+19 ] = 12  -  19  = - 7

              

                                  ET :      5. 2  -  17  =  10 – 17  =  - 7

   


                  

             Im Angabenbuch steht:

       

11)    Die Gerade  g  ist durch 2 Punkte    C (1 / - 3) ,   D (3 / 5)   festgelegt.

          Stelle die Funktionsgleichung  auf und kontrolliere, ob die

          Punkte auf   g   liegen!

 

  Im Lösungsbuch steht:

 

11)    Die Gerade  g  ist durch 2 Punkte    C (1 / - 3) ,   D (3 / 5)   festgelegt.

          Stelle die Funktionsgleichung  auf und kontrolliere, ob die

          Punkte auf   g   liegen!

 

          Funktionsgleichung:      y   =   k . x    +    d

 

          I.    - 3     =      1.  k  +  d    / . (-1)              I.      - 3    =   4  +  d

         II.      5     =      3 . k  +  d                              - 3  -  4    =   d

               + 3     =    - 1 . k  -   d                                     - 7    =   d

                  5      =      3 . k  +  d                                                     

                              8      =       2 k       / : 2

                              4      =       k 

 

              Funktionsgleichung:       y    =   4  .  x    -    7

         


 

            

         Im Angabenbuch steht:

      

        18)    (4x  -  y)³   -   (2x  + 3y)³   +   (5x – 2y)³   =         Probe:  x  =  1,   y  =  2

 

 

           Im Lösungsbuch steht:

          18)    (4x  -  y)³   -   (2x  + 3y)³   +   (5x – 2y)³   =         Probe:  x  =  1,   y  =  2

               =   64x³  -   48x²y  +  12xy²  - y³  -   8x³  -  36x²y  -  54xy²  -  27y³   +

   +   125x³  -  150x²y  +  60xy²  -  8y³  =   181x³   -  234x²y  +   18xy²  -  36y³

 

 

                  Probe :     AT:    (4 - 2)³   -    (2  +  6)³    +   (5 – 4)³    =     -    +    = 

                                  =      8        -         512        +        1         =   - 503

                                  

                          ET:    181 . 1³  -  234 . 1² . 2      +  18 . 1 . 2²    -  36 . 2³   =

                               =      181     -         468          +        72          -     288    =   - 503       

 

 


 

             

            Im Angabenbuch steht:

 

         29)    Die Hunderterziffer einer dreistelligen Zahl ist um 1 kleiner als die

                   Zehnerziffer, die Einerziffer ist um 1 größer als die Zehnerziffer.

                   Vertauscht man die Hunderter –  und die Zehnerziffer, so entsteht eine neue

                   Zahl, die um 156 kleiner ist als das Dreifache der ursprünglichen Zahl.

                   Berechne die ursprüngliche Zahl und die neue Zahl!   (Mache eine Tabelle!)       

 

 

           Im Lösungsbuch steht:

 

         29)    Die Hunderterziffer einer dreistelligen Zahl ist um 1 kleiner als die

                   Zehnerziffer, die Einerziffer ist um 1 größer als die Zehnerziffer.

                   Vertauscht man die Hunderter –  und die Zehnerziffer, so entsteht eine neue

                   Zahl, die um 156 kleiner ist als das Dreifache der ursprünglichen Zahl.

                   Berechne die ursprüngliche Zahl und die neue Zahl!   (Mache eine Tabelle!)       

 

                          . 100        . 10

                                          H           Z           E                                      Zahl                                    

                    urspr. Z.:   x - 1         x         x + 1      100. (x – 1) + 10 . x + (x + 1)= 100x – 100 + 10x + x + 1=111x - 99

                    neue Z.:       x          x – 1      x + 1      100 . x + 10 (x – 1) + (x + 1) = 100x + 10x – 10 + x + 1 = 111x - 9

                                                                                 

                               ursprüngliche Zahl                 neue Zahl

                                             (111x  -  99)   . 3          =     111x  -  9      + 156

                                                         333x - 297        =     111x  + 147

                                                    333x  -   111x        =     147  +  297         / - 111x          / + 297

                                                                   222x       =     444       / : 222

                                                                          x      =     2

                   Die ursprüngliche Zahl heißt  123, die neue Zahl heißt  213.

 

                            Probe:    Das Dreifache der ursprünglichen Zahl:   123 . 3   =  369

                                       Die neue Zahl 213 ist um 156 kleiner als das Dreifache der

                                       ursprünglichen Zahl:  213  +  156   =   369!                 stimmt!!!!

 


 

            

 

               Im Angabenbuch steht:

              Mache bei folgendem Beispiel auch die Probe:  x   =  3,  y  =  2

              16 x – {5 y + 5 – [3 y – (8 x + 1)]} =

 

              Im Lösungsbuch steht:

              Mache bei folgendem Beispiel auch die Probe:  x   =  3,  y  =  2

                 16 x – {5 y + 5 – [3 y – (8 x + 1)]} =

             = 16 x – {5 y + 5 – [3 y - 8 x - 1 ]} =

             = 16 x – {5 y + 5 - 3 y + 8 x + 1 } =

             = 16 x - {2 y + 6 + 8 x } = 16 x - 2 y - 6 - 8 x  =  8 x - 2 y – 6

 

            Probe:  AT:      16 . 3 – {5. 2 + 5 – [3. 2 – (8. 3 + 1)]} =

                                      =  48  -  { 10 + 5 - [ 6 - ( 24 + 1)]} =

                             = 48  -  { 15 - [ 6 - ( + 25 )]} =

                              = 48  -  { 15 – [ 6 – 25 ]} =

                                     =  48  -  {15 – [ - 19 ]} = 48 – {15 + 19} = 48 – {34 } = 14

                         ET:    8 . 3 – 2 . 2 – 6 = 24 – 4 – 6 = 14

            

         


 

 

                Im Angabenbuch steht:

 

              Eine quaderförmige Sandkiste ist 2,5 m lang, 1,5 m breit und 50 cm tief.

            Berechne die Sandmenge , wenn der Sand bis zu 18 cm unter dem Rand

                gefüllt wird! Achte auf gleiche Benennung!

                Gib das Endergebnis in und dm³ an!

           

              Im Lösungsbuch steht:

 

              Eine quaderförmige Sandkiste ist 2,5 m lang, 1,5 m breit und 50 cm tief.

           Berechne die Sandmenge , wenn der Sand bis zu 18 cm unter dem Rand

               gefüllt wird! Achte auf gleiche Benennung!

               Gib das Endergebnis in und dm³ an!

            

                    l = 2,5 m

                   b = 1,5 m

                   h = 50 cm - 18 cm = 32 cm = 0,32 m

                   V = ? m³ dm³

          

                   V = l . b . h

                   V = 2,5 . 1,5 . 0,32

                   V = 1,2 m³ = 1 m³ 200 dm³

 

                Es ist eine Sandmenge von 1 m³ 200 dm³ notwendig.

 

             


          

               

           Im Angabenbuch steht:

             Die Oberfläche einer quadratischen Pyramide beträgt 369 cm², die Mantelfläche

          beträgt 288 cm². Berechne die Grundkante a und die Höhe auf a!

 

              Im Lösungsbuch steht:

           Die Oberfläche einer quadratischen Pyramide beträgt 369 cm², die Mantelfläche

           beträgt 288 cm². Berechne die Grundkante a und die Höhe auf a!

               O  =  369 cm²                        O  =  G  +  M      /- M

               M  =  288 cm²                 O - M  =  G

                a  =  ? cm                  369 - 288  =  G

                ha = ? cm                              81 =   G

                                               81 =  a²

                                                9  =  a                

               

 

                                      M  =  2 . a . ha         / : 2 . a

                                          288 : 2 . 9  =  ha                               

                                                          16  ha 

                                              

            Die Grundkante a beträgt 9 cm, die Höhe auf a beträgt 16 cm.
                                  
                                 
                                    
                                        

 

 


                                                                                                                                                                                                                  

                   

                

              

           

             

                           

                    

                                                                                                                    

             

                                                                                                                      

                 

                                       

                                                                                                                   

                                   

                                                                                                                                   

 

                                                                                                                    

                                                                                                                          

                                                                                                                            

                                                                                                                     

   

 

 

                

               

 

                

                        

 

                                      

                                       

 

                                  

                                  

  

 

               

 

 

 

                   

 

                    

                                

        

                   

                  

 

 

 

 

 

 

                     

 

 

 

 

                        

 

                                     

 

 

 

          

 

        

                 

 

 

 

 

  

 

        

 

 

       

                    

 

 

 

 

                         

                         

                        

 

                                    

                                      

                                                    

                   

                                                                                               

 

                    

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