Vorbereitung für die Oberstufe

 

 

      I N H A L T S V E R Z E I C H N I S

 

 

 

 

 

       A      WIEDERHOLUNG   

 1.     Prozentrechnung                                                         

 2.     Zinsen- und Zinseszinsrechnung             

                           3.   Verhältnisse und Proportionen            

 

        B     DIE   REELLEN  ZAHLEN

1.   Die Menge der reellen Zahlen                         

2.   Gemischt periodische Dezimalzahlen          

3.   Rechnen mit Quadratwurzeln              

a)   Addieren und Subtrahieren

b)  Multiplizieren und Dividieren

c)  Teilweises Wurzelziehen

d)  Einen Faktor „unter die Wurzel bringen“

e)  Nenner rational machen

 

 

           C        TERME

    1.   Addieren und Subtrahieren von Termen                  

    2.   Multiplizieren von Termen                        

    3.   Dividieren durch Terme                     

    4.   Multiplikation von Summen und Differenzen             

    5.   Die binomischen Formeln                        

    6.   Dritte Potenzen von Binomen                           

    7.   Herausheben und Zerlegen von Termen              

   

 

         D       1.  LINEARE  GLEICHUNGEN  MIT  EINER  UNBEKANNTEN          

                   2.  GLEICHUNGEN  MIT  ALLGEMEINEN  KOEFFIZIENTEN          

   

 

          E         LÖSEN  VON  UNGLEICHUNGEN                         

   

 

         F       RECHNEN  MIT  BRUCHTERMEN

   1.   Kürzen von Bruchtermen                                                

   2.   Addieren und Subtrahieren von Bruchtermen               

   3.   Multiplizieren von Bruchtermen                           

   4.   Dividieren durch Bruchterme    Doppelbrüche   -                 

       Division mehrgliedriger Ausdrücke  (Polynome)

 

 

         G       GLEICHUNGEN  MIT  BRUCHTERMEN – BRUCHGLEICHUNGEN         

 

         H       ARBEITEN  MIT  FORMELN                                 

                    (Umformen von Formeln)

 

         I         FUNKTIONEN                                                  

                   AUFSTELLEN  VON  LINEAREN  FUNKTIONSGLEICHUNGEN

 

 

         J       LINEARE  GLEICHUNGEN  MIT  ZWEI  UNBEKANNTEN         

                  Textbeispiele  - Gleichungen mit allgemeinen Koeffizienten  (Formvariablen)

 

          K      DER  PYTHAGORÄISCHE  LEHRSATZ

                    1.    Anwendung bei Berechnungen von ebenen Figuren                

                   2.    Der Kathetensatz und der Höhensatz                          

   

             L      PRISMEN  UND  PYRAMIDEN                    

 

         M      KREIS  UND  KREISTEILE                       

 

 

         N       DER  DREHZYLINDER                               

         O       DER  DREHKEGEL                                

 

         P       DIE  KUGEL  

 


 

 

         Wiederholung

   

         Im Angabenbuch steht:

 

          16)    Nach 11 Jahren wird ein Guthaben von 65 000 €  abgehoben. Der Zinsfuß

                    beträgt  6 %. Berechne die effektiven Zinsen und das Anfangskapital K0!

 



           Wiederholung

 

          Im Lösungsbuch steht:

 

          16)    Nach 11 Jahren wird ein Guthaben von 65 000 €  abgehoben. Der Zinsfuß

                   beträgt  6 %. Berechne die effektiven Zinsen und das Anfangskapital K0!

 

                   K11 =   65 000 €                     6 %  .  0,75  =  4,5 %           

                   p     =   6 %                                 

                   t      =   11 J.                                  

                   K0    =   ? €                                K11   =   K0  .  1,04511

                                                     K11 : 1,04511   =   K0

                                             65 000  :  1,04511   =   K0

                                                                   40 052,92      K0

                   Zeff  =  K11   -   K0   =   65 000   -   40 052,92   =   24 947,08

 

                   Die effektiven Zinsen betragen   24 947,08 €,

                   das Anfangskapital  K0  beträgt  40 052,92 €.  

 


 

                   Wiederholung

                   Im Angabenbuch steht:

         Mach bei folgenden Beispielen auch die Probe:   x  =  2

          q)      6 x –  [3 x  +  11 –  (2 x + 1) + 7]   =  


 

                   Im Lösungsbuch steht:

         Mach bei folgenden Beispielen auch die Probe:   x  =  2

                   q)     6 x –  [3 x  +  11 –  (2 x + 1) + 7]   =            

                        =  6 x –  [3 x  +  11  -   2 x – 1   + 7]   =  (Fasse alle gleichen Terme in der Klammer zusammen!)                  

                       =  6 x –  [ x  +  17 ]  =  6 x  -   x  -  17  =  5 x    17 

    

 

                   Probe:   AT :      6. 2 – [3. 2  + 11  – ( 2. 2 + 1) + 7    ]   =           

                                            = 12   -  [   6   + 11   - (  4    + 1) + 7    ]   =                  

                                            = 12   -  [    + 17       -    (+5 )      + 7     ]   = 12 - [+19 ] = 12  -  19  = - 7

              

                                  ET :      5. 2  -  17  =  10 – 17  =  - 7

   


           

          Im Angabenbuch steht:

       

11)    Die Gerade  g  ist durch 2 Punkte    C (1 / - 3) ,   D (3 / 5)   festgelegt.

          Stelle die Funktionsgleichung  auf und kontrolliere, ob die

          Punkte auf   g   liegen!


 

  Im Lösungsbuch steht:

 

11)    Die Gerade  g  ist durch 2 Punkte    C (1 / - 3) ,   D (3 / 5)   festgelegt.

          Stelle die Funktionsgleichung  auf und kontrolliere, ob die

          Punkte auf   g   liegen!

 

          Funktionsgleichung:      y   =   k . x    +    d

 

          I.    - 3     =      1.  k  +  d    / . (-1)              I.      - 3    =   4  +  d

         II.      5     =      3 . k  +  d                              - 3  -  4    =   d

               + 3     =    - 1 . k  -   d                                     - 7    =   d

                  5      =      3 . k  +  d                                                     

                           8      =       2 k       / : 2

                           4      =       k 

 

              Funktionsgleichung:       y    =   4  .  x    -    7

         


 

            

         Im Angabenbuch steht:

 

         18)    (4x  -  y)³   -   (2x  + 3y)³   +   (5x – 2y)³   =         Probe:  x  =  1,   y  =  2

 


 

         Im Lösungsbuch steht:

         18)    (4x  -  y)³   -   (2x  + 3y)³   +   (5x – 2y)³   =         Probe:  x  =  1,   y  =  2

 

     =   64x³  -   48x²y  +  12xy²  - y³  -   8x³  -  36x²y  -  54xy²  -  27y³   +

          +   125x³  -  150x²y  +  60xy²  -  8y³  =   181x³   -  234x²y  +   18xy²  -  36y³

 

 



                 Probe :     AT:    (4 - 2)³   -    (2  +  6)³    +   (5 – 4)³    =     -    +    = 

                                          =      8       -         512        +        1         =  - 503

                                  

                                    ET:    181 . 1³  -  234 . 1² . 2      +  18 . 1 . 2²    -  36 . 2³  =

                                         =      181     -         468           +       72         -     288    =   - 503       

 

 


 

 

                     

            Im Angabenbuch steht:

 

         29)    Die Hunderterziffer einer dreistelligen Zahl ist um 1 kleiner als die

                   Zehnerziffer, die Einerziffer ist um 1 größer als die Zehnerziffer.

                   Vertauscht man die Hunderter –  und die Zehnerziffer, so entsteht eine neue

                   Zahl, die um 156 kleiner ist als das Dreifache der ursprünglichen Zahl.

                   Berechne die ursprüngliche Zahl und die neue Zahl!   (Mach eine Tabelle!)       

 

 


 

 

           Im Lösungsbuch steht:

 

 

         29)    Die Hunderterziffer einer dreistelligen Zahl ist um 1 kleiner als die

                   Zehnerziffer, die Einerziffer ist um 1 größer als die Zehnerziffer.

                   Vertauscht man die Hunderter –  und die Zehnerziffer, so entsteht eine neue

                   Zahl, die um 156 kleiner ist als das Dreifache der ursprünglichen Zahl.

                   Berechne die ursprüngliche Zahl und die neue Zahl!   (Mach eine Tabelle!)       

 

                                    . 100        . 10

                                      H         Z         E                                      Zahl                                    

                    urspr. Z.:   x - 1         x         x + 1      100. (x – 1) + 10 . x + (x + 1)= 100x – 100 + 10x + x + 1=111x - 99

                    neue Z.:       x          x – 1      x + 1      100 . x + 10 (x – 1) + (x + 1) = 100x + 10x – 10 + x + 1 = 111x - 9

                                                                                 

                                         ursprüngliche Zahl                 neue Zahl

                                             (111x  -  99)   . 3          =     111x  -  9      + 156

                                                         333x - 297        =     111x  + 147

                                                    333x  -   111x        =     147  +  297

                                                                   222x      =     444       / : 222

                                                                          x      =     2

                   Die ursprüngliche Zahl heißt  123, die neue Zahl heißt  213.

 


 

 

                   Probe:  Das Dreifache der ursprünglichen Zahl:   123 . 3   =  369.

                                Die neue Zahl 213 ist um 156 kleiner als das Dreifache der

                               ursprünglichen Zahl:  213  +  156   =   369!                 stimmt!!!!

 


 

 

            

          Im Angabenbuch steht:

 

          30)    Rechne!     Vereinfache so weit wie möglich! 

                    Bestimme auch die Definitionsmenge  D!      Mach die Probe:   x  =  2

                       6            -          2            +            3             =

                   x³ - x²               2x – 2                  3x + 3


 

        

                     Im Lösungsbuch steht:

          30)    Rechne!     Vereinfache so weit wie möglich! 

                    Bestimme auch die Definitionsmenge  D!      Mach die Probe:   x  =  2                                                                                                                                                                                                                    

                       6            -         2            +            3             =

                   x³ - x²              2x – 2                  3x + 3

 

              =       6 .    2 . 3 (x + 1)           -        2 .    3 . x² (x + 1)         +          3 .    2 . x² (x – 1)             =

                   2 . 3 . x² (x – 1) (x + 1)         2 . 3 . x² (x – 1) (x + 1)              2 . 3 . x² (x – 1) (x + 1)

 

              =   36x + 36 – 6x³ - 6x² + 6x³ - 6x²          =                - 12x² + 36x + 36             =

                         2 . 3 . x² (x – 1) (x + 1)                                 2 . 3 . x² (x – 1) (x + 1)

 

                   

             =         12  (- x² + 3x + 3)            =       2 (- x² + 3x + 3)                                                                                                            

                   2 . 3 . x² (x – 1) (x + 1)                      x² (x² - 1)                           kgV (HN) :

                                                                                                                        x³ - x²  =  x² (x – 1)

                                                                                                                        2x – 2  =  2 (x – 1)

                    Pr.:    AT:      6        -          2         +       3        =                      3x + 3  =  3 (x + 1)

                                        8 – 4             4 – 2             6 + 3           

                                                                                                                         kgV:   2 . 3 . x² (x – 1) (x + 1)

             =    6    - 2    +  3     =   54 – 36 + 12   30   =     5

                   4       2        9                   36               36          6                           Definitionsmenge:

                                                                                                                                x³ - x²    0          2x – 2    0

                   ET:    2 ( - 4  + 6 + 3)    =    2 . 5    =     10   =   5                          x² (x – 1)   0         2x  - 2     0

                                 4 (4 – 1)                  4 . 3           12        6                                      x    0              2x      2

                                                                                                                                       x    1                x      1

 

                                                                                                                       3x + 3     0

                                                                                                                             3x    - 3

                                                                                                                              x    - 1

                                                                                                                             D  =  R  \  { ± 1 ; 0 }

   

 


 

                

                   Im Angabenbuch steht:

 

                   23)  Ermittle die Lösungsmenge!  Mach auch die Probe!

                           (Ich löse mit Hilfe des Additionsverfahrens!)

 

                           I.       3x     +      2y     -     43       =      3x      -     y               

                                     4               3             24                2             8           

 

                           II.      x     -       3y        =          x       -        2y        -     109        

                                    3              5                      2                10                30

 


 

 

                  Im Lösungsbuch steht:

 

 

                   23)  Ermittle die Lösungsmenge!  Mach auch die Probe!

                           (Ich löse mit Hilfe des Additionsverfahrens!)

 

                           I.       3x     +      2y     -        43       =      3x      -       y                 / . 24

                                     4               3                24                2               8 

        

                           II.      x     -       3y        =          x       -        2y        -     109          / . 30

                                    3              5                      2                10                30

I.       18x  +  16y  -  43  =  36x  -  3y                      Ordnen !

II.      10x  -  18y  =  15x  -  6y  -  109 

I.    -  18x +  19y   =   43             /  . 12

II.    -   5x  -  12y  =  - 109          /  . 19

     - 216x + 228y  =    516

      - 95x  - 228y  =  - 2 071

                 - 311x  =  - 1 555          / : (- 311)

                         x   =  5

 

 

II.:       5     -    3y      =        5        -     2y     -    109               / . 30

            3            5                 2               10           30

 

               50   -   18y   =   75  -  6y   -   109

               50  -  18y     =  - 34  -  6y

                 50  +  34    =  - 6y  +  18y

                              84  =  12y       / : 12            L  =  { 5 / 7 }                                                  

                                7  =  y                               

 


 

                           Probe :   I.:   LS :     15   +   14    -    43    =  90   +  112   -   43  =  159  =  53  

                                                              4           3          24        24         24        24       24         8

 

                                                   RS:      15    -    7    =    60     -       7     =    53

                                                                 2         8            8               8            8     

 

 

                                           II.:    LS:         5     -     21     =        25      -     63      =   -   38  

                                                                    3            5                15            15                15          

 

                                                   RS:     5   -   14    -  109   =   75   -  42  -  109   = - 76  =   - 38

                                                              2        10        30         30       30      30          30         15  

 

 


 

           Im Angabenbuch steht:

 

          61)    Verkürzt man die eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks um 16 cm

                   und verlängert man die andere um 12 cm, so entsteht ein rechtwinkliges

 Dreieck mit gleich langer Hypotenuse, aber einen um  56 cm²  kleineren

 Flächeninhalt. 

 Berechne die Längen der Katheten und die Länge der Hypotenuse des ursprünglichen Dreiecks!

 

 


 

 

           Im Lösungsbuch steht:

 

 

          61)    Verkürzt man die eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks um 16 cm

                   und verlängert man die andere um 12 cm, so entsteht ein rechtwinkliges

 Dreieck mit gleich langer Hypotenuse, aber einen um  56 cm²  kleineren

 Flächeninhalt. 

 Berechne die Längen der Katheten und die Länge der Hypotenuse des ursprünglichen Dreiecks!

 

I.                      +      =   (a  +  12)²    +    (b  -  16)²

II.                 a . b          =    (a  +  12) . (b  - 16)      +  56                 / . 2

                                         2                                 2                           

                           I.            +    =    +  24a  +  144  +    -  32b  +  256      Ordnen!!!

                           II.         ab  =  ab  +  12b  -  16a  -  192  +  112

I.          - 24a  +  32b  =    400    / . 2                            II.  a . 20    =  (a + 12) . (20 – 16) + 56   /.2  

II.           16a   -  12b  =  - 80    / . 3                                       2                           2

                                      - 48a  +  64b  =       800                                             20a    =   (a + 12) . 4  +  112

                                         48a   -  36b  =   -  240                                             20a    =   4a  +  48  +  112

                                                     28b  =     560   / : 28                              20a - 4a  =   160

                    b  =     20                                              16a       =   160     / : 16

                                                                                                 a      =    10

 

    +          =     

100  +  400    =   

            500    =                                   c    22,4

 

                   Die Katheten sind  10 cm  bzw.  20 cm lang, die Hypotenuse ist  ca. 22,4 cm lang.

 


 

Probe:      +  = 100 + 400  =  500     c² =  500   (Hypotenuse ist gleich lang!)  stimmt!!!

                                 Urspr. Rechteck:   A  = (a . b) : 2  =  (10 cm² . 20) : 2  =  100 cm²      

                                    Neues Rechteck:   A = [(a + 12) cm² . (b - 16)] : 2  =  (22 cm² . 4) : 2  =  44 cm²

                                    Unterschied:    100 cm²  -  44 cm²   =   56 cm²         stimmt!!!

 


     

 

           Im Angabenbuch steht:

 

           Löse folgende Gleichungen nach  x  und  y  auf: 

           a  und  b  bedeuten:  feste reelle Zahlen         (Mach immer die Probe!)

 

          3)        I.          x   +    y   =   2a                  

                    II.        ax  +  by   =     +         

 


        

            Im Lösungsbuch steht:

 

           Löse folgende Gleichungen nach  x  und  y  auf: 

           a  und  b  bedeuten:  feste reelle Zahlen         (Mach immer die Probe!)

 

         3)        I.          x   +    y  =  2a       / . (-b)                     I.    (a – b)  +  y  =  2a

                   II.        ax  +  by  =    +                                              y  =  2a  -  a  +  b

                                 - bx  -  by  =  - 2ab                                              y  =  a + b

                                   ax  +  by  =    + 

                                   ax   -  bx  =    -  2ab  + 

                                      x (a – b)   =  (a – b)²        / : (a – b)

                                             x   =  a - b

 


 

                        Probe :   I.:      LS:     (a  -  b)  +  (a  +  b)  =  2a

                                                 RS:     2a

 

                                       II.:    LS:     a . (a  -  b)  +  b . (a  +  b)  = a² - ab + ab + b²   =  a² + b²

                                                RS:      + 

Zurück zur Homepage


Mathematik Übungsprogramm ~ Brigitte Körber, Liechtensteinstrasse 47 ~ 2344 Maria Enzersdorf ~ brigitte.koerber@aon.at